Когда случайность играет ключевую роль

заведующий Международной лабораторией стохастического анализа и его приложений

О работе во французских университетах, применении стохастического анализа для изучения поведения и изменений, математическом взгляде на борьбу с коррупцией и квантовых процессах будущего рассказывает заведующий лабораторией профессор факультета экономических наук Валентин Конаков.

Как, когда и при каких обстоятельствах создавалась Международная лаборатория стохастического анализа и его приложений?

В течение ряда десятилетий у меня были тесные научные контакты с Францией и Германией. С 1999 по 2010 год я преподавал в Университете Пьера и Марии Кюри в Париже, проводя там в качестве приглашенного профессора от шести до девяти месяцев в году. Надо сказать, что это университет с одной из сильнейших в мире школ по стохастическому анализу. В Германии у меня также были тесные научные контакты с вероятностной группой Института прикладной математики Университета Гейдельберга. В 2010 году я достиг пенсионного возраста и, согласно французским законам, не мог более преподавать, став французским пенсионером. В 2010 году я вернулся в Москву, поступил на работу в Вышку и с грустью думал, что моим интенсивным научным контактам с зарубежными коллегами пришел конец. Но, к счастью, появился этот замечательный проект – «Международные лаборатории». Когда в 2014 году в Вышке был объявлен конкурс на создание международных лабораторий, у меня не было сомнений или раздумий, к кому из иностранных коллег обратиться и пригласить в лабораторию. Я обратился к тем, с кем уже давно работал. Володя Панов, с которым мы писали исходную заявку, также пригласил своего соавтора. Коллеги откликнулись: академическим руководителем лаборатории стал профессор Университета Гейдельберга Э. Маммен, в состав лаборатории также вошли С. Меноцци (Университет Эври, Франция), А. Веретенников (Университет Лидса, Великобритания), Д. Беломестный (Университет Дуйсбург–Эссен, Германия). Так сформировался наш стартовый состав из одиннадцати участников.

Как формировался научный состав лаборатории? Расскажите о вашем знакомстве и совместной работе с именитыми коллегами? Как состав коллег выглядит сейчас?

Лет 20 назад, когда я работал в Университете Париж VI, ко мне в офис вошел худощавый молодой человек, державший в руках мою статью. Он представился и сказал, что хочет поговорить об этой работе. Завязалась дискуссия у доски, было видно, что он разобрался в работе, и у него были мысли, как это можно попытаться развить дальше. Позже он защитил диссертацию, аналог нашей докторской, часть диссертации содержала результаты нашей совместной деятельности. Потом он подавал на профессора Университета Париж VI, и по просьбе университета я писал ему рекомендательное письмо. Звали молодого человека Стефан Меноцци, сейчас это профессор Университета Эври и член нашей лаборатории. С Энно Мамменом, первым академическим руководителем лаборатории, мы начали работать вместе еще раньше: наша первая совместная работа была опубликована в 1995 году. Потом мы работали вместе в рамках четырех трехгодичных российско-немецких проектов и, наконец, продолжили совместную работу в международной лаборатории. Так мы начинали. Потом к нам приходила молодежь, была небольшая ротация: кто-то уходил, кто-то приходил. В 2016 году академическим руководителем лаборатории стал С.А. Молчанов – ученый с мировым именем, работающий в Университете Северной Каролины в Шарлотте, США. С его приходом состав лаборатории постепенно обновился, росло число сотрудников, а нашей основной повесткой стало решение актуальных проблем стохастического анализа. На сегодняшний день лаборатория насчитывает 25 человек, из которых 14 – молодые сотрудники (до 39 лет), а также студенты и аспиранты НИУ ВШЭ. Ну и немного статистики и о достигнутых результатах. Коллективом лаборатории за 8 лет (2014–2021 годы) в ведущих отечественных и зарубежных журналах первого и второго квартилей международных баз научного цитирования WoS и Scopus было опубликовано более 60 научных работ, организовано более 20 международных конференций, ведущими учеными лаборатории и приглашенными специалистами прочитано более 25 мини-курсов, защищено две кандидатские и одна докторская диссертация, еще четыре сотрудника лаборатории в скором времени выйдут на защиту с тремя кандидатскими и одной докторской диссертацией. В 2019 году диссертационная работа стажера-исследователя лаборатории Анны Кожиной (научный руководитель В.Д. Конаков) была удостоена немецкой международной премии Wilma-Moser, присуждаемой ежегодно в Университете Гейдельберга за лучшую диссертацию в области естественных наук, выполненную женщиной-исследователем. В июне 2021 года статья сотрудников лаборатории С.А. Молчанова и В.А. Панова получила первую премию по направлению «Естественные науки» на конкурсе лучших научных публикаций на русском языке сотрудников НИУ ВШЭ. Помимо исследований в рамках ежегодно заявляемых тем лаборатории, нашими сотрудниками проводятся исследования по другим темам двух выигранных грантов Российского научного фонда: «Некоторые актуальные задачи прикладного стохастического анализа» (2017–2021) и «Дробные и сингулярные случайные процессы» (2020–2022).

Что такое стохастический анализ и в чем его особенности? Чем он отличается от классической статистики и где находит применение?

Чаще всего под термином «стохастический анализ» понимают изучение сложных систем, в которых случайность играет ключевую роль. Во многих математических задачах, а также в физических, биологических и финансовых моделях бывает так, что поведение системы определяется огромным числом случайных событий, которые невозможно все детально рассчитать. К примеру, частица (скажем, бактерия), оказавшаяся в неподвижной на вид жидкости, начинает двигаться за счет того, что ее с разных сторон толкают молекулы самой жидкости. Эффект от каждого отдельного толчка из огромного числа таких соударений учесть невозможно, но математические и физические методы позволяют учесть совместный эффект и описать движение частицы, которое, кстати, тоже будет случайным, но с хорошо известными свойствами. Другой пример стохастической системы – размножение клеток или бактерий. Каждая клетка может случайным образом погибнуть или поделиться на две, а мы пытаемся предсказать поведение всей популяции (погибнет или будет экспоненциально расти). Если отвлечься от бытового понимания и попытаться сформулировать формально, то стохастический анализ можно определить как часть математики, пограничную между современной теорией вероятностей и математической физикой. Наиболее продвинутые разделы стохастического анализа являются частями теоретической физики. Это в первую очередь изучение неупорядоченных соединений, легированных полупроводников, поликристаллов и т.п. Соответствующий раздел стохастического анализа носит название «теория стационарных (то есть не зависящих от времени) случайных сред». С другой стороны, напротив, большой интерес представляют среды, которые случайно меняются в пространстве-времени. Такие задачи возникают, например, в различных разделах гидромеханики и астрофизики, где центральными темами являются турбулентность жидкости или плазмы, генерирование магнитных полей в конвективной фотосфере звезд и проч. Главная цель стохастического анализа – это разработка математических моделей для широкого круга явлений в физических, биологических и социальных науках. Классическая статистика играет при этом подсобную роль. Это главным образом оценка параметров в упомянутых математических моделях. Здесь мы имеем стандартную дихотомию. «Реалистические» модели, как правило, очень сложны и малопригодны для аналитического изучения. Они содержат так много параметров, что даже их статистическое оценивание проблематично в силу того, что в биологических и особенно в социально-экономических науках отсутствует четко выраженный статистический ансамбль. Здесь можно пытаться применять методы стохастического моделирования. Упрощенные модели дают, как правило, качественно правильные результаты, но от количественного согласия с реальностью они далеки. Работа должна вестись в обоих направлениях: упрощение сложных моделей и совершенствование простых.

Отличие от статистики можно охарактеризовать и так: в теории вероятностей мы имеем описание самой системы, а вопросы ставятся про ее поведение. Например, мы знаем, с какой вероятностью делятся и гибнут клетки, и пытаемся предсказать, что будет с популяцией через какой-то период времени. В статистике решаются обратные вопросы: мы наблюдаем, как работает система, и пытаемся понять, как она устроена. Например, устроив опрос общественного мнения (т.е. сделав какие-то выборочные наблюдения), мы пытаемся описать с некоторым уровнем надежности настроения во всем обществе.

Какие направления исследований существуют в лаборатории? Поделитесь самыми любопытными результатами ваших проектов.

В качестве интересных направлений и результатов отметим следующие:

Теория игр как универсальный аппарат анализа человеческих взаимоотношений, экономических и социальных. В частности, недавно получены любопытные результаты в направлении построения моделей инспекции и коррупции, связанных с защитой окружающей среды (например, в связи с незаконными вырубками леса). Получен новый математический результат, который может быть назван принципом квадратичного штрафа, показывающий, что эффективная борьба с коррупцией возможна при введении штрафа, квадратично зависящего от нелегального дохода. Результат имеет явную практическую применимость, ибо дает четкую рекомендацию законодательным органам по определению политики взысканий с нелегальных доходов. Скажем, квадратичный штраф с коэффициентом ½ обяжет получателя нелегального дохода в один доллар заплатить штраф в размере всего 50 центов, штраф для нелегального дохода в 10 долларов составит 50 долларов, а вот для нелегального дохода в 1000 долларов он составит уже 500 тысяч. Именно такое прогрессивное наложение штрафа обеспечивает ограниченность нелегальных доходов от коррупции и истребления окружающей среды в состоянии равновесия, в то время как линейное или даже более слабое прогрессивное штрафование поддерживает равновесия с неограниченным ростом нелегального дохода.

Дробный анализ. О чем тут речь? Со времен Альберта Эйнштейна процессы диффузии всегда играли ключевую роль при моделировании случайных процессов как в физике, так и в экономике и финансах. Одним из ключевых фактов теории Эйнштейна, позволившей, в частности, впервые определить довольно точно число Авогадро, является то, что среднее перемещение пропорционально квадратному корню из времени, за которое это перемещение произошло. Однако современные экспериментальные данные четко указывают на то, что в большинстве процессов массопереноса в живых существах, а также в таких важных процессах, как распространение заражений и загрязнений в воде и атмосфере, ситуация иная: там среднее перемещение пропорционально времени в степени, отличной от ½. Это и есть аномальная диффузия. А она как раз и описывается математически дробным анализом (дробными производными и интегралами). Таким образом, наши математические работы по теории дробных уравнений являются ключевыми для понимания широкого класса процессов как в живой, так и в неживой природе.

Расскажите о конференциях и семинарах, которые проводит лаборатория. Каких ученых собирают такие мероприятия? Какими результатами вы особенно гордитесь?

Ежегодно лаборатория организует не менее трех международных конференций и семинаров, на которых выступают ведущие ученые из российских и зарубежных университетов. Наиболее значимым событием является коллоквиум лаборатории, который традиционно проходит зимой в подмосковном доме отдыха «Снегири». В разные годы на этом зимнем коллоквиуме выступали такие известные иностранные ученые, как Этьен Парду (Марсель, Франция), Дэни Талэ (София-Антиполис, Франция), Артуро Когатсу Хига (Киото, Япония), Энцо Орсингер (Рим, Италия), Джозеф Витмейер (Северная Каролина в Шарлотте, США) и многие другие. Особо хочу отметить одно предстоящее крупное международное мероприятие, в котором лаборатория принимает самое активное участие. Главный научный сотрудник лаборатории В.Н. Колокольцов является соорганизатором четырехмесячной программы, проводимой Институтом Исаака Ньютона (Кембридж), в которой участвуют более 100 ведущих специалистов по дробным дифференциальным уравнениям (в том числе четыре сотрудника нашей лаборатории). Программа будет сосредоточена на следующих темах в рамках трех семинаров: 1) детерминированные и стохастические дробные дифференциальные уравнения и скачкообразные процессы; 2) дробная кинетика, гидродинамические пределы и фракталы; 3) оптимальное управление в дробной динамике. В рамках двух последних семинаров также будут проведены сессии, посвященные приложениям и вычислительным аспектам дробных дифференциальных уравнений. Эти сессии будут охватывать такие темы, как физика (транспортные явления, квантовая оптика), химия и биология (хемотаксис, динамика численности населения), науки об окружающей среде (загрязнение подземных вод, фрактальный перенос растворенных веществ) и технологии (реконструкция изображений и анализ сигналов, финансовый инжиниринг).

Как сотрудники лаборатории принимают участие в образовательной деятельности университета?

С момента создания лаборатории и нам, и руководству факультета экономических наук было очевидно, что потенциал нашего коллектива нужно использовать для образовательного процесса. В 2015 году на базе лаборатории была открыта магистерская программа «Статистическое моделирование и актуарные расчеты», которая очень гармонично вписалась в спектр образовательных программ университета. Основной акцент программы сделан на стохастических (то есть вероятностных и статистических) методах анализа данных и их применении для решения финансово-экономических задач. Выпускники программы являются востребованными и редкими специалистами, владеющими современным математическим аппаратом и обладающими уверенными знаниями в области экономики. Наши выпускники без труда находят работу в банках, страховых и аудиторских компаниях, пенсионных фондах.

Все ключевые курсы программы читаются сотрудниками лаборатории. Например, С.А. Молчанов читает курс по финансовой теории риска, а В.Н. Колокольцов – по финансовой математике. Студенты имеют возможность с самого начала обучения общаться с видными международными специалистами и писать курсовые и дипломные работы под их руководством.

Какие планы ставит перед собой лаборатория в перспективе ближайших лет?

Простейшие модели популяционной динамики, которым было уделено значительное внимание на первой стадии существования нашей лаборатории и в проектах, финансировавшихся Российским научным фондом, были, по сути, комбинацией теории ветвящихся процессов, созданной в России А.Н. Колмогоровым и его школой, и теории диффузионных процессов (или цепей Маркова), описывающей движение частиц в пространстве (миграцию). Подобный симбиоз появился впервые в знаменитой работе Колмогорова – Петровского – Пискунова (КПП-модель). Эта старая работа до сих пор используется для описания распространения инфекции или же нового гена после «удачной» мутации. Она дает, в ряде случаев по крайней мере, качественное согласие с реальностью. Конечно, предположения об отсутствии взаимодействия между частицами и об однородности фазового пространства, где происходит эволюция поля частиц, выглядят слишком ограничительными. Тем не менее они дают хорошее приближение для ранних стадий динамики и для простейших (обычно одноклеточных) организмов, таких как некоторые формы планктона, ансамбли раковых клеток в крови или лимфе при лейкозах или лимфомах и пр.

Однако КПП-статья не содержит детального описания популяции внутри движущегося фронта. Недавний анализ показал, что популяция крайне неоднородна (особенно вблизи границы фронта). Это явление носит название «перемежаемость» (intermittency) и было введено в работах школы Я.Б. Зельдовича в связи с теорией магнитного поля звезд (и, в частности, Солнца). Перемежаемость крайне характерна для реальной демографической картины – формирования мегаполисов, т.е. системы слившихся городов с населением порядка 50 млн и больше (область большого Лос-Анджелеса от Сан-Диего до Санта-Барбары, Калифорния, США, с населением приблизительно 50 млн, аналогичный мегаполис на Атлантическом побережье США от Вашингтона до Бостона и пр.). Такие же перенаселенные анклавы характерны для Японии (Токио – Иокогама; Осака – Кобе – Киото) и особенно для Китая (Гонконг, Шанхай, Пекин и пр.). Одной из важнейших задач следующего этапа исследований будет разработка статистических методов для оценки уровня перемежаемости случайных полей (в частности, точечных полей, которые изучаются в демографии).

Еще одной актуальной задачей является исследование корреляций между сильной перемежаемостью (кластеризацией) популяций и пандемиями. Хорошо известно, что большинство пандемий (во всяком случае, это относится к вирусным заболеваниям) начинается в перенаселенных регионах с сильно загрязненной средой обитания. Уровень мутаций (химический мутагенез) при этом резко возрастает, что ведет потенциально к появлению новых, более опасных форм вируса.

Математические модели такого типа относятся к ситуации, когда рассматривается совместная эволюция нескольких типов взаимодействующих частиц. В теории ветвящихся процессов (без пространственной компоненты) подобные «многотипные» процессы в неслучайных и случайных средах уже изучались (группа В.А. Ватутина в Математическом институте им. В.А. Стеклова). Переход к пространственно-временной динамике потребует дополнительных усилий.

Другой круг задач популяционной динамики относится к исследованию функционалов поля частиц, описывающих их типичные характеристики. Для простейших одноклеточных популяций, уже упоминавшихся выше, важнейшей такой характеристикой является масса частиц. Эволюция распределения этого функционала в силу наличия довольно сложного механизма деления (митоз) описывается специальным классом дифференциально-функциональных уравнений, связанных с продвинутыми разделами математики (диффузионные процессы на группах Ли, бесконечномерные стохастические уравнения и т.п.). В этой области пока имеются лишь фрагментарные результаты. Их развитие и систематическая теория являются насущными ближайшими задачами.

Если мы будем рассматривать подобные вопросы для популяций животных или людей (вес, рост), то здесь как минимум надо учитывать возраст частиц. Различные версии ветвящихся (уже не марковских, а лишь полумарковских) процессов рассматривались в прикладной литературе под общим названием «процессы Беллмана – Харриса».

Разумеется, нетрудно предположить несколько возможных моделей ветвящихся случайных блужданий, где интенсивности деления и гибели частиц зависят от возраста, равно как и изменения их массы. Однако детальный математический анализ здесь вряд ли возможен, и нам предстоит или упрощать модели (используя, скажем, модели среднего поля, популярные в физике и химической кинетике), или же применять стохастическое моделирование. В любом случае этот раздел теории содержит много интересных и трудных задач.

И, наконец, еще одно направление деятельности – квантовые игры и квантовые игры среднего поля. Развитие этих довольно сложных математических моделей связано со все возрастающим интересом к анализу квантовых процессов как к науке будущего. Конечно, одна из ключевых задач – это квантовый компьютер, который неизвестно когда будет создан (потому и наука будущего), но перспективы квантовых вычислений (квантовый параллелизм) видятся грандиозными. И квантовые игры – это тоже теория в этом направлении. Это истинно новая теория – в том смысле, что она возникла в XXI веке.

24 ноября, 2021 г.