• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

«В России истина в математике размножается не спорами, а школами»

Математики Сергей Ландо и Евгений Смирнов о своей научной карьере
Ландо Сергей Константинович

заведующий Международной лабораторией кластерной геометрии, профессор факультета математики

Математики редко думают про свой академический путь в категориях карьеры – обычно к нему относятся как к судьбе. Мою судьбу вряд ли можно считать типичной (да и возможна ли такая вещь, как типичная судьба?), хотя начиналось все вполне обычно. Я вырос в Мотовилихе – на рабочей окраине Перми – и с 5-го класса занимался в математических кружках и участвовал в олимпиадах. Как один из победителей Всесоюзной олимпиады и член команды СССР на Международной математической олимпиаде, я попал на мехмат МГУ без экзаменов. Было это 50 лет назад. Впрочем, на саму олимпиаду я не поехал – вместо меня в команду включили одного 9-классника, который демонстрировал лучшие результаты в решении задач, чем все составлявшие команду 10-классники. Теперь это академик РАН Сергей Владимирович Конягин. На той и на следующей за ней Международной математической олимпиаде он получил золотую медаль, решив все предложенные задачи.

В 1970-е годы в Советском Союзе математики работали не только преподавателями высших учебных заведений. За исключением немногих сотрудников академических институтов, имевших все основания полагать, что им улыбнулась удача, основным местом работы математиков был тот или иной институт прикладного характера. Работа в таком институте, как правило, была не слишком обременительной, и начальство смотрело сквозь пальцы на побочные занятия своих сотрудников. (У преподавателей вузов, за исключением 2–3 элитных университетов, таких возможностей было заметно меньше: учебная нагрузка часто бывала запредельной, и ее честная отработка отбивала охоту к дополнительным размышлениям.) Если при этом институт располагался в одной из математических столиц страны, то по вечерам сотрудник такого института мог принимать посильное участие в работе какого-нибудь исследовательского семинара, оказываясь тем самым в центре мировой математической жизни. Руководители этих семинаров – лидеры советской математики – были в то же время и лидерами математики мировой. Они были включены в мировую повестку, как члены редколлегий ведущих журналов были знакомы с самыми свежими научными результатами, нередко еще до их официального опубликования. Этими сведениями они щедро делились с коллегами и учениками. Небольшое количество зарубежных журналов, в том числе лучших, попадало с определенным запаздыванием в несколько отечественных библиотек, где при некотором навыке к ним можно было получить доступ.

Сергей Владимирович Конягин
Сергей Владимирович Конягин
Vanechki: математика, биология и многое другое

В России истина в математике размножается не спорами, а школами. Один из первых вопросов, которые задают молодому математику коллеги для определения уровня его профессиональной подготовки, – чьим учеником он является. Школы концентрируются вокруг лидеров и формируют состав участников семинаров. Влияние научно успешной школы выходит далеко за ее рамки и нередко определяет развитие целого направления науки. В Советском Союзе было практически невозможно выехать за границу, но и смена работы внутри страны требовала титанических усилий. Институт прописки, с одной стороны, привязывал математика к месту проживания, задерживал его в школе, с другой – служил барьером для попадания извне в столицы: Москву, Ленинград, Киев, в меньшей степени Новосибирск.

В середине 1980-х академические институты стали множиться, как грибы. Не будучи москвичом, после окончания аспирантуры я нашел работу в одном из таких только что открывшихся академических институтов – филиале Института проблем кибернетики Академии наук СССР (ныне Институт программных систем имени А.К. Айламазяна РАН) в Переславле-Залесском, в 130 км от Москвы. Это было паллиативное решение проблемы научного общения: по вторникам я мог ездить в Москву на семинар своего научного руководителя Владимира Игоревича Арнольда. Небольшой семинар мы – несколько учеников Арнольда – организовали и в Переславле. Атмосфера плодотворной научной школы рождала специалистов, в совершенстве владеющих инструментарием, знанием истоков и путей развития предметной области, иногда довольно обширной. Когда им удавалось выйти за пределы этой области, такие специалисты нередко добивались значительных результатов общематематического характера, получавших широкое признание.

В других математически развитых странах – США, Канаде, Франции, Великобритании, Германии – роль научных школ во второй половине ХХ – начале ХХI века заметно снизилась по сравнению с предыдущим периодом. Там считается, что молодым исследователям на начальном этапе своего пути более полезно получить опыт научного взаимодействия с различными группами исследователей. Для реализации этого подхода были разработаны соответствующие механизмы. Ну и общее устройство жизни в этих странах делает барьеры для перемещений гораздо более низкими. В современной России эти барьеры также гораздо ниже, чем в СССР.

Филиал Института проблем кибернетики АН СССР в Переславле-Залесском
Филиал Института проблем кибернетики АН СССР в Переславле-Залесском
Фотокорреспондент В. Спиридонов

Идеальное устройство этики в математике такое же, как и в любой другой науке, и выглядит примерно так. Научное сообщество оценивает своих членов по уровню полученных результатов и широте круга их применения, по способности объяснять их и делиться ими, по красоте, четкости и элегантности доказательств, по объему и качеству накопленных знаний, по ответственности в цитировании результатов предшественников. Авторы наиболее заметных результатов получают приглашение доложить о них на Международном конгрессе математиков и Европейском математическом конгрессе, проводимых раз в 4 года. В математике отсутствует жесткое деление на области, однако направления исследований могут расходиться очень далеко, универсалов неизбежно мало, и поэтому непосредственная оценка результатов и способов их достижения часто невозможна – приходится полагаться на мнение заслуживающих уважения специалистов. Такая опора на мнение экспертов неизбежна при отборе статей для публикации в журналах. Конкуренция за право опубликоваться в особенно престижных журналах очень высока, и эти журналы являются и высокоцитируемыми.

Реальная жизнь, разумеется, отличается от идеальной картины. Хотя я бы сказал, что в математике это отличие не так уж велико. Конечно, даже в пределах одной области возникают различные группы, не признающие значимости результатов друг друга. Эти группы обзаводятся собственными журналами или подчиняют себе журналы, давно существующие, и отказываются публиковать в них статьи, написанные представителями других групп. В последние годы появился целый ряд журналов, главная цель которых – повысить цитируемость публикуемых в них статей и подняться как можно выше по шкале цитируемости; при этом их основной способ повышения цитируемости – не привлечение высококачественных статей, а либо банальная, либо изощренная механическая накрутка показателей. Но все же в математике журналы, требующие денег за публикацию статьи, по-прежнему редки, а среди ведущих журналов таких и вовсе нет. В целом математическое сообщество очень доброжелательно, и при искреннем интересе со стороны собеседника математик способен часами объяснять свои и известные ему чужие научные результаты вне зависимости от того, опубликованы ли они уже.

Политика приема математиков на работу в различных странах – при всеобщей публичной приверженности описанным выше принципам – также различна. Скажем, во многих европейских странах конкурс при найме университетских преподавателей является общегосударственным, его осуществляет специально сформированный комитет, и возможности руководства университета или факультета влиять на его исход ограниченны. В североамериканских университетах, напротив, мнение уже сложившегося коллектива очень весомо. В любом из этих вариантов неизбежно столкновение интересов различных групп, и результат отбора далеко не всегда выглядит оптимальным. Отличие российской математической среды от условно западной (в настоящее время это практически весь мир), сохранившееся с советских времен, – наличие довольно большого количества ставок в академических институтах. Эти рабочие места не предусматривают обязательного преподавания, а в большинстве своем вменяют в обязанность лишь исследования. В западной академической культуре таких рабочих мест гораздо меньше, и, как правило, это не постоянная, а временная работа. Место же преподавателя российского университета, за немногими исключениями, сейчас особой привлекательностью не обладает, и о жестком конкурсе тут речь не идет.

Владимир Игоревич Арнольд
Владимир Игоревич Арнольд
Элементы большой науки

Как и в любой профессии, круг специалистов-экспертов в математике довольно узок, и их валентностей не хватает для обеспечения квалифицированной экспертизы всех заинтересованных в них журналов. Как следствие, при решении вопроса о публикации редакторы зачастую вынуждены исходить из соображений, далеких от качества статьи. Главная внешняя характеристика достижений математика-исследователя – это признание со стороны вот этого узкого круга специалистов. К их мнению прислушиваются и его придерживаются уже многие. В то же время в математике широк круг непризнанных гениев: тех, кто считает собственные результаты выдающимися, а отсутствие их признания рассматривает как незрелость сообщества.

Нужно сказать, что проблема обеспечения качественной экспертизы журнальных публикаций обостряется, что осознается многими участниками исследовательского процесса. В Советском Союзе проблема с публикациями тоже была, но носила несколько другой характер. Возможность публиковаться за пределами страны практически отсутствовала, а своих, внутренних журналов было мало. И статьи иностранных авторов в этих журналах публиковались редко. При этом более десятка журналов переводилось на английский, и их англоязычные версии попадали во все сколь-нибудь серьезные библиотеки мира. Круг доступных современным российским авторам математических журналов гораздо шире, а журнальные проблемы носят общемировой характер.

Адекватным ответом на некоторые вызовы явилось создание в начале 1990-х годов Корнелльским университетом (США) открытого депозитария электронных статей по физике и математике, куда можно выкладывать тексты практически без ограничений. В этом архиве можно найти почти все математические тексты последних десятилетий, и он в значительной степени решает проблему равенства доступа, доступности информации, равно как и гораздо менее острую и менее насущную проблему приоритета. Однако проблемы качественной оценки результатов и выделения главных направлений исследований открытый нерецензируемый доступ решить не способен. Круг признанных экспертов довольно узок, определен нечетко и меняется медленно, но именно усилия и мнение этого круга людей определяют развитие математической науки в целом. Он распределен, хотя и очень неравномерно, по всему миру, и никакой набор формальных признаков – доклады на конгрессах, международные премии, позиции в ведущих университетах или исследовательских центрах, членство в редколлегиях престижных журналов и академиях – не позволяет автоматически отнести того или иного человека к этому кругу. В этом отношении математическая жизнь не отличается от любой другой.

Корнелльский университет
Корнелльский университет
NextGenPop

Вообще, разнообразные формальные показатели стоит рассматривать скорее как симптомы болезни, чем как признаки здоровья: высокая температура означает, конечно, что человек болен, однако нормальная температура вовсе не является гарантией здоровья. Если научный коллектив печатается вяло, у его сотрудников не выходят статьи в ведущих журналах, а вышедшие статьи плохо цитируются за пределами круга их авторов, то эти признаки, безусловно, указывают на проблемы в состоянии коллектива. Однако и внешне здоровые по всем формальным показателям коллективы могут быть поражены серьезными, часто тяжелыми заболеваниями.

Развитие математики насчитывает несколько тысячелетий, и принципиальных скачков на этом пути было немного. В своем современном виде математика сложилась в XVIII веке, и с тех пор представление о критериях значимости, красоты, доказательности хотя и развиваются, но не претерпевают революционных изменений. Существенным подспорьем в развитии математики в последние десятилетия стали компьютеры, но и они не изменили ее принципиально. Среди великих математиков прошлых столетий немало таких – Эйлер и Гаусс в их числе, – кто приходил к своим идеям на основе объемных вычислений. Сейчас возможность вычислять быстро и безошибочно есть у каждого, что, однако, не делает каждого великим. Необходимо еще понимать, что именно следует вычислять и как интерпретировать полученные результаты. Так что я ощущаю себя принадлежащим к тысячелетней традиции, находящейся в постоянном развитии, и пытаюсь передать это ощущение своим студентам.

Смирнов Евгений Юрьевич

доцент факультета математики, научный сотрудник Лаборатории алгебраической геометрии и ее приложений

Мой путь в математику начался с учебы в математическом классе, что довольно типично среди московских математиков. В моем случае это была 57-я школа, куда я поступил в 1996 году в девятый класс. Дальше, если ты хотел серьезно заниматься математикой, выбора особенно не было, кроме как идти на мехмат МГУ. В 1990-е это было единственное официальное учреждение, где давали фундаментальное математическое образование (матфак Вышки появился только в 2008 году).

Параллельно существовала еще одна площадка, под названием Независимый московский университет. Он был основан в начале 1990-х группой энтузиастов, среди которых академик Владимир Арнольд и знаменитый деятель математического образования Николай Константинов. Независимый университет создавался как альтернатива государственным университетам; главные его ценности – открытость и свобода. Именно благодаря этому по-настоящему увлеченные люди могут учить серьезным и сложным вещам тех, кому это важно, без отвлечения на физкультуру и гражданскую оборону. Занятия в Независимом проходили по вечерам, после основных курсов на мехмате, и учили там почти исключительно математике (еще были курсы по немецкому и французскому языкам). В результате я получил диплом в обоих этих заведениях. Уже тогда я определился со своими научными интересами и решил, что буду заниматься алгебраической геометрией и теорией представлений, а также их связями с комбинаторикой.

По окончании университета появилась возможность получить стипендию и поехать во Францию в совместную аспирантуру. По-французски это называется cotutelle, когда ты проводишь половину времени обучения в одной стране, половину в другой, у тебя два научных руководителя и ты параллельно учишься в двух местах. Это очень продуктивно, потому что какие-то области математики лучше представлены здесь, какие-то там. Я воспользовался этой возможностью и поехал в аспирантуру во Францию, в Гренобльский университет. Там я изучал, как могут быть расположены друг относительно друга наборы многомерных пространств. Так что я параллельно учился в аспирантуре мехмата МГУ, в Гренобле и в аспирантуре Независимого университета. Но, по сути, это была одна работа, потому что программа cotutelle предполагает, что ты защищаешь одну диссертацию, за которую получаешь степень в двух странах. В норме это должна была быть единая защита. Например, франко-немецкие защиты проходили таким образом, что человек защищался в одном из двух своих университетов, а другой университет признавал эту защиту тоже и давал ему второй диплом. Это похоже на то, как работает сегодня программа двойного диплома. Но по тогдашним российским правилам нельзя было французскую защиту зачесть как российскую и нельзя было собрать совместное жюри, как это делается сейчас в той же Вышке. И мне пришлось, защитив PhD на французском во Франции в 2007 году, переводить свою диссертацию на русский язык и защищаться еще раз на мехмате в Москве в 2008-м.

Университет Гренобль-Альпы
Университет Гренобль-Альпы
Астраханский государственный университет

После этого я поехал на постдок в Германию, в город Бонн, где провел в общей сложности два года. Бонн – одна из европейских математических столиц. Там я работал в Математическом центре Хаусдорфа при Боннском университете. Кроме того, в Бонне находится Математический институт Макса Планка, куда приезжает много математиков с краткосрочными визитами. То есть ты сидишь на месте, а в твой город приезжает множество замечательных математиков, они делают доклады, с ними можно пообщаться, вокруг проходит много интересных семинаров и конференций. Так проходила моя жизнь на протяжении двух лет – с 2007-го по 2009-й. Дальше надо было искать уже какую-то постоянную позицию.

По счастью, в 2008 году в Москве открылся факультет математики в Вышке. От других российских математических заведений он отличался тем, что одним из первых объявил открытый конкурс, как это обычно делается на Западе, когда отобранные на первом этапе кандидаты приезжают в университет сделать доклад и пообщаться с сотрудниками факультета. Так что в 2009 году я присоединился к коллективу матфака. С тех пор я совмещаю занятия математикой как наукой и преподавание. Формат преподавания может быть разным – от совсем маленьких специальных курсов до больших поточных лекций для младших курсов, на которых могут присутствовать больше ста человек. Кроме того, я считаю очень важным вовлекать в математику школьников. Поэтому несколько раз в год я участвую в проведении разных школ и олимпиад, выступаю с популярными лекциями.

Мои научные интересы по-прежнему сосредоточены вокруг связей геометрии и комбинаторики. Грубо говоря, я пытаюсь разобраться, как сложные геометрические объекты можно привести к объектам более простым и исчислимым. Например, сейчас я пишу работу о К-теории многообразий флагов и ее связи с некоторыми видами многогранников, так называемыми многогранниками Гельфанда – Цетлина.

Математический институт Макса Планка в Бонне
Математический институт Макса Планка в Бонне
Hausdorff Center for Mathematics

Математики обычно работают очень небольшими коллективами – от одного до трех человек. Типичный случай – коллектив, состоящий из научного руководителя и его учеников: дипломников или аспирантов. Мне очень приятно, что на матфаке очень много способных студентов, которые по-настоящему готовы включиться в научную работу уже начиная с младших курсов. И все же статья, подписанная четырьмя и более авторами, у нас редкость. Причем в математике существует такое соглашение, что при оформлении публикации фамилии авторов должны следовать в алфавитном порядке. Тогда как, например, в экспериментальной физике или биологии, где количество авторов статьи может достигать нескольких десятков и даже сотен фамилий, выделены специальные места: первым идет основной автор, последним – руководитель подразделения и т.п. У математиков такого ранжирования нет. Считается, что в совместной работе у всех равный вклад, и не принято его разделять.

Довольно часто математики пишут свои статьи в одиночку, без соавторов. Но не надо думать, что математик сидит у себя на чердаке, целыми днями доказывает теоремы и ни с кем не общается. Для математики очень важно общение и научная среда. Потому что когда ты ходишь на семинары, слушаешь доклады о том, что делают коллеги, то, даже если это не самая близкая тебе область, иногда вдруг обнаруживается какая-то неожиданная связь с твоей работой, и это оказывается полезно. Поэтому надо знать, чем занимаются другие коллеги, надо ездить на конференции не только потому, что первым узнаешь о новых результатах коллег, но и потому, что много полезного общения происходит на кофе-брейках. Это тоже важная часть работы математика.

Математик должен быть готов к тому, что в работе постоянно что-то не получается. Чем мы, собственно, занимаемся? Мы пытаемся описать устройство некоторого мира, который, с одной стороны, полностью умозрительный, но с другой – имеет свои совершенно четкие законы, проявляющиеся, в частности, в том, что все математики понимают их одинаково. В этом смысле какие-нибудь когомологии алгебр Ли для математиков не менее реальны, чем стол, за которым я сейчас сижу. Тем не менее описать сущности этого мира бывает достаточно сложно. Мы строим гипотезы, проверяем их на примерах, а додумавшись до каких-то общих законов, пытаемся их доказать, и далеко не каждая догадка оказывается верной. Тут может включаться интуиция, приобретаемая за счет опыта и расширения кругозора. Так опытный грибник чувствует, где в лесу обязательно должны расти белые, идет туда и действительно набирает полную корзинку. То есть с опытом приходит понимание того, что может быть правдой, что не может, что легко можно доказать, что доказать трудно, а что безнадежно. Именно в этом смысле математика – это наука про честность, в первую очередь перед самим собой. Неважно, насколько красивой представляется твоя гипотеза, – если к ней есть контрпример, значит, она неверна, тут нет никакого «почти». Или же бывает, что что-то не доказано, но кажется правдоподобным, и все же важно помнить, что оно не доказано. Наша работа – уметь отличать верное утверждение от неверного, доказанное от недоказанного.

8 февраля, 2023 г.